Zajęcia 10

Równania nieliniowe

1. Metoda bisekcji

1) Znajdujemy F(x1) gdzie x1 = (a+b)/2, jeśli F(x1)=0 to koniec iteracji.
2) Jeśli F(a)*F(x1) < 0 to definiujemy b=x1, wartość a się nie zmienia. W przeciwnym wypadku definiujemy a=x1, podczas gdy b nie ulega zmianie.
3) Powracamy do punktu 1) i definiujemy x2 i sprawdzamy warunek 2).

Przykład
Znaleźć miejsce zerowe funkcji F(x)=x3+x-1 w przedziale [0;1].

Pierwszy krok obliczeń
Wartość funkcji w punktach x1,a,b:
Mamy więc:

Dlatego przyjmujemy:

Drugi krok obliczeń

Trzeci krok obliczeń

W analogiczny sposób wykonujemy kolejne kroki aż do momentu gdy wartość funkcji w tym punkcie jest bliska zeru.

2. Metoda siecznych(cięciw)

1) Zakładamy, że F(a)F(b)<0
2) Równanie pierwszej cięciwy ma postać:

stąd:

3) Jeśli F(x1)=0 to kończymy iterację. Jeśli nie to sprawdzamy czy F(x1)
F(a)<0.

Powracamy do punktu 2)

3. Metoda stycznych(Newtona)

Metoda ta podobna jest do metody siecznych z tą różnicą, że pierwiastek przybliżany jest przez miejsce zerowe stycznych do funkcji F(x).
1) Wybieramy przedział [a,b] taki by F(a)F(b)<0
2) Wybrać punkt startowy a lub b w sposób opisany poniżej:
- Jeśli F'(a)
F(a) < 0 to x1=a
- Jeśli F'(b)*F(b) > 0 to x1=b
3) Obliczyć x2 ze wzoru:

4) Jeśli F(x2)=0 kończymy iterację, jeśli nie obliczamy kolejne xi

Przykład
Zbadać z dokładnością do 1e-5 rozwiązanie równania y=ex+2x+1 metodą Newtona, wybierając jako punkt startowy x0=0.
Korzystając ze wzoru obliczamy wartości funkcji w obliczonych punktach:

Wartość funkcji w otrzymanym punkcie x1 wynosi:

Ponieważ |F(x1)| > 1e-5 kontynujemy oblicznia:


Po wykonaniu kroku trzeciego osiągnięto zadaną dokładność a znaleziony pierwiastek wynosi -0.738835.

Zadania
1. Znaleźć miejsca zerowe funkcji F(x)= x2-3 w przedziale [0,8]. Porównaj wyniki otrzymane trzema metodami.
2. Dla przykładu trzeciego (metoda Newtona), zbadaj zbieżność dla innego punktu startowego x0=5.
3. Zaprogramuj dwie wybrane metody a następnie sprawdź dla podanej funkcji, która z nich jest lepsza:
Funkcja: x+ lnx = 0
Początek przedziału: 0.34
Koniec przedziału: 0.98
Punkt startowy dla metody Newtona: 1
Dokładność: 0.0001