Zajęcia 12

Zagadnienia brzegowe dla równań różniczkowych zwyczajnych

Zagadnienia początkowe

Zobaczmy problem zagadnienia początkowego na przykładzie:

Warunki początkowe: y(0) = -1, y'(0) = 1
Przyjmujemy: u = y'
Nasze równanie ma więc postać:

Rozwiązujemy je dowolną metodą z poprzednich zajęć(np. metoda Eulera):

Warunki brzegowe

Zamieńmy warunki początkowe na warunki brzegowe na przykładzie: Warunki brzegowe: y(0) = -1, y(2) = 1

Przyjmujemy: u = y'
Nasze równanie ma więc postać:

Zagadnienie jest bardzo podobne do poprzedniego z tym że nie znamy wartości u(0). Wartość tą sami wybieramy, np. u(0)=100. Następnie rozwiązujemy równanie dowolną metodą z poprzednich zajęć(np. metoda Eulera):

Metoda różnic skończonych

Metoda różnic skończonych (MRS) jest jedną z najprostszych metod numerycznego rozwiązywania zagadnień opisanych przez układy równań różniczkowych. Idea tej metody polega na zastąpieniu pochodnych występujących w tych równaniach przez odpowiednie ilorazy różnicowe.
Na obszar, w którym spełnione ma być rozwiązywane równanie, nakładamy siatkę punktów węzłowych. Wartości poszukiwanej funkcji w węzłach siatki będą stanowiły zbiór niewiadomych. Należy teraz wyznaczyć odpowiednie do rzędu równania ilorazy różnicowe, które pozwolą przekształcić równanie różniczkowe na układ równań algebraicznych.

Dziedzinę rozwiązań [a,b] dzielimy na N przedziałów o długości h(b-a)/N.
Dla każdego punktu zapisujemy równanie różnicowe - czyli równanie algebraiczne.

Przykład

Rozwiązać dla następujących warunków y(0)=0, y(1)=0:

By otrzymać rozwiązanie numeryczne najpierw dyskretyzujemy równanie dla punktów [x0, x1, …, xN], gdzie x0 = 0, xN = 1.
Wybierzmy h = 0.2 (N = 5).
Drugą pochodną można przybliżyć za pomocą trójpunktowych różnic centralnych:

Układ nasz ma 4 niewiadome i 4 równania:


Układ można rozwiązać dowolną metodą.

Zadania

  1. Podaj rozwiązanie zagadnienia początkowego w przedziale [0,5].

    Warunki początkowe: y(0)=0, y'(0)=10
    Rozwiąż powyższe równanie zmieniając warunek początkowy na warunek brzegowy.
    Przyjmij, że y(0)=0, y(5) = suma cyfr wchodzących w skład numeru indeksu.

  2. Równanie opisujące rozkład temperatury wzdłuż długości pręta:

    hc – współczynnik wnikania ciepła
    P – obwód pręta
    k – współczynnik przewodzenia ciepła
    Ac – pole poprzecznego przekroju pręta
    Przyjmij, że:

    Rozwiąż równanie metodą różnic skończonych wiedząc, że:
    L = 0.1 m,
    T(0) = 473 K,
    T(L) = 293 K,
    Ac = 1.6*10-5m2
    k = 240 W/m/K
    P = 0.016 m
    hc = 40 W/m2/K