Zajęcia 2

Równania liniowe

1. Metoda eliminacji Gaussa

Metoda eliminacji Gaussa jest najczęściej stosowaną skończoną metodą numerycznego rozwiązywania układów równań pierwszego stopnia.
Metoda ta polega na sprowadzeniu macierzy powstałej z równań do postaci macierzy trójkątnej, czyli do uzyskania zera pod przekątną (przyjęło się, że pod przekątną jednak można też nad przekątną) macierzy, ułatwieniem może też być utworzenie jedynki na przekątnej jednak to nie jest konieczne. Aby to uzyskać możemy zamieniać wiersze między sobą, dodawać je do siebie, oraz mnożyć przez liczbę różną od zera.

Spróbujmy znaleźć rozwiązanie układu równań liniowych postaci:

wykorzystując metodę eliminacji Gaussa.

Układ równań liniowych zapisujemy w postaci macierzowej:

lub w skrócie:

Ax = b
gdzie:
amn - macierz współczynników układu
xn - wektor niewiadomych
bm - wektor wyrazów wolnych

Pierwszy etap - postępowanie proste

Zanim rozpoczniemy tworzymy macierz rozszerzoną dodając do macierzy A wektor wyrazów wolnych b:

W pierwszym etapie eliminacji (eliminacja w przód, postępowanie proste) rozpoczynamy przekształcanie rozszerzonej macierzy w macierz trójkątną górną.

Pierwszy krok etapu eliminacji
Polega on na usuwaniu niewiadomych x1 z równań leżących w wierszach o numerach i=2, 3,..., n.
Kolejno odejmujemy od i-tego wiersza układu (i=2,3,...,n), wiersza pierwszego pomnożonego odpowiednio przez:

Drugi krok etapu eliminacji
Podobnie, w kroku drugim, eliminujemy zmienną x2 z równań leżących w wierszach 3, 4,..., n, odejmując od i-tego wiersza(i=3, 4,..., n), wiersz drugi pomnożony przez następujący mnożnik:


Operację kontynuujemy dla kolejnych podmacierzy, aż otrzymamy macierz trójkątną:

Drugi etap - postępowanie odwrotne

W drugim etapie rozwiązania (postępowanie odwrotne lub postępowanie wsteczne) w celu znalezienia rozwiązania układu równań, korzysta się z uzyskanej (w wyniku eliminacji) macierzy trójkątnej górnej i wzorów rekurencyjnych :

Przykład

Rozwiązać metodą eliminacji Gaussa następujący przykład:

Postępowanie proste
Na początek tworzymy macierz współczynników 4x4 powiększoną o wektor wyrazów wolnych tego układu:

Pierwszy etap
Następnie wyznaczamy mnożniki mij ze wzoru dla j=1, i=2,3,4:

Dokonujemy obliczeń:

Drugi etap
Wyznaczamy mnożniki mij ze wzoru dla j=2, i=3,4:

Dokonujemy obliczeń:

Trzeci etap
Wyznaczamy mnożniki mij ze wzoru dla j=3, i=4:

Dokonujemy obliczeń:

Postępowanie odwrotne
Tak wygląda układ równań po etapie eliminacji:

Obliczmy zmienną x4 z równania 4 układu:

Obliczmy zmienną x3 z równania 3 układu:

Obliczmy zmienną x2 z równania 2 układu:

Obliczmy zmienną x1 z równania 1 układu:

Zadania
1. Dla macierzy z przykładu 1, na podstawie wzorów z wykładu oblicz wyznacznik macierzy.
2. Oblicz wyznacznik macierzy (po dokonaniu eliminacji Gaussa)

Następnie dodaj wektor [6, 7, 10] i rozwiąż równanie liniowe.
3. Korzystając z drogi eliminacji Gaussa oblicz wyznacznik następującej macierzy:

4. Dodatkowe dla chętnych. Oprogramuj algorytm, który oblicza wyznacznik macierzy za pomocą eliminacji Gaussa. Następnie dodaje wektor rozwiązań i rozwiązuje równanie liniowe.