Zajęcia 2

Równania liniowe

1. Metoda dekompozycji LU

Metoda ta polega na przedstawieniu odwracalnej macierzy kwadratowej A w postaci iloczynu dolnej i górnej macierzy trójkątnej:

A = LU
Układ Ax=b jest równoważny układowi LUx=b, który rozpada się na dwa układy trójkątne: Ly=b i Ux=y.

Macierz U jest końcową macierzą trójkątną otrzymaną za pomocą eliminacji Gaussa. Aby otrzymać macierz L, należy zachować mnożniki mij wyliczane w eliminacji Gaussa.

Przykład
Rozwiążmy następujący układ równań:

Zacznijmy od konstrukcji macierzy A:

Używając metody eliminacji Gaussa, obliczamy górną macierz trójkątną U oraz macierz L.


Następnie stosując wzory dokonujemy rozwiązania równania:

Zadania
1. Oblicz wyznacznik macierzy z przykładu
2. Za pomocą dekompozycji LU podziel macierz na macierz trójkątną górna i dolną. Oblicz wyznacznik.


3. Rozwiąż następujący układ równań:

4. Za pomocą dekompozycji LU podziel macierz na macierz trójkątną górna i dolną. Zauważ, że na przekątnej pojawia się wartość zerowa.

Podpowiedź: Dokonujemy wyboru częściowego elementu głównego tzw. pivotingu (częściowego, ponieważ szukana jest największa wartość w danej kolumnie pod elementem na diagonali, nie w całej macierzy). Następnie przestawia się wiersz z niezerowym elementem na miejsce wiersza z zerowym elementem na diagonali. W trakcie procedury należy przestawiać również elementy macierzy L.
5. Napisać program, który oblicza wyznacznik macierzy kwadratowej za pomocą rozkładu LU.