Zajęcia 4

Równania liniowe - metody iteracyjne

1. Metoda Jacobiego

Krok 1
Macierz współczynników A rozkładamy na sumę macierzy diagonalnej D i zerodiagonalnej R:

A = D + R

D - macierz diagonalna z elementami tylko na głównej przekątnej
R - macierz zerodiagonalna
Zapisać to możemy następująco:

By zastosować tą metodę należy najpierw tak zamienić kolejność równań układu, aby na głównej przekątnej były elementy różne od zera.

Krok 2
Następnie obliczamy macierz odwrotną do macierzy D. Macierz D-1 otrzymamy po podniesieniu do potęgi -1 wszystkich wartości na głównej przekątnej macierzy.

Krok 3
W ostatnim kroku iteracyjnie obliczamy kolejne przybliżenia rozwiązania według następującego wzoru:

Przykład 1
Obliczymy następujący układ równań:

Zapisujemy go w postaci Ax = b:

Dzielimy macierz A na sumę macierzy D+R:

Obliczamy macierz D-1:

Obliczamy -D-1R:

Rozpoczynamy iterację od zerowego przybliżenia:

Obliczamy pierwszą iterację metody, stosując wzór z kroku 3:

Obliczamy kolejną iterację metody:

2. Metoda Gaussa-Seidela

Krok 1
Macierz współczynników A rozkładamy na sumę trzech macierzy:

A = D + R = WL + D + WU

D - macierz diagonalna z elementami tylko na głównej przekątnej
R - macierz zerodiagonalna
WL - macierz w której znajdują się elementy, których numer wiersza jest większy od numeru kolumny
WU - macierz w której znajdują się elementy, których numer wiersza jest mniejszy od numeru kolumny
Zapisać to możemy następująco:
By zastosować tą metodę należy najpierw tak zamienić kolejność równań układu, aby na głównej przekątnej były elementy różne od zera.

Krok 2
Następnie obliczamy macierz odwrotną do macierzy D.

Krok 3
W ostatnim kroku iteracyjnie obliczamy kolejne przybliżenia rozwiązania według następującego wzoru:

Przykład 2
Rozwiążmy układ równań z przykładu 1:

Dzielimy macierz A na sumę macierzy WL + D + WU:

Obliczamy macierz D-1:

Obliczamy D-1B, D-1WL, D-1WU:

Rozpoczynamy iterację od zerowego przybliżenia:

Obliczamy pierwszą iterację metody, stosując wzór z kroku 3:

Obliczamy kolejną iterację metody:

Zadania
1. Przyjmując wartości startowe x1=2, x2=0, x3=-2, podaj pierwsze dwa przybliżenia układu równań metodą Jacobiego i metodą Gaussa-Seidela:

2. Podaj pierwsze dwa przybliżenia układu równań metodą Jacobiego i metodą Gaussa-Seidela:

3. Dla metod iteracyjnych porównać dokładność rozwiązania wykonując tę samą liczbę iteracji i przyjmując ten sam wektor zerowego przybliżenia. Następnie porównać wyniki z metodą eliminacji Gaussa.
4. Napisać program rozwiązujący układ równań metodą iteracji prostej (Jacobiego) oraz porównać z wynikami obliczonymi analitycznie. Dodatkowo powtarzać proces iteracyjny aż do momentu spełnienia warunku: