Zajęcia 5

Interpolacja

Interpolacją nazywamy postępowanie prowadzące do znalezienia wartości pewnej funkcji f(x) w dowolnym punkcie przedziału (x0, xn) na podstawie znanych wartości tej funkcji w punktach x0, x1,..., xn, zwanych węzłami interpolacji.

Gdy obliczanie wartości pewnej funkcji F(x) bezpośrednio z określającego ją wzoru jest skomplikowane; wtedy zastępujemy ją prostszą funkcją f(x), o której zakładamy, że w punktach x0, x1,..., xn ma te same wartości co funkcja F(x); w tym przypadku F(x) nazywamy funkcją interpolowaną, zaś f(x) funkcją interpolującą.

1. Interpolacja Lagrange'a

Wzór interpolacyjny Lagrange'a:

Przykład 1
Znaleźć wielomian interpolacyjny Lagrange'a, który punktach 1,2,3 przyjmuje odpowiednio wartość 0,1,4.

Obliczyć przybliżoną wartośc funkcji danej powyższymi wartościami w punkcie x=0.
Stosując wzór Lagranega'a wyznaczamy wielomian interpolacyjny stopnia drugiego w zadanym punkcie:

Przybliżona wartość funkcji w punkcie 0, to wartość wielomianu W2(0):

2. Interpolacja Newtona

Wzór interpolacyjny Newtona jest bardziej praktyczniejszy w przypadku gdy zmienia się liczba węzłów.
Wzór interpolacyjny Newtona dla równoodległych węzłów:

gdzie:

Różnice skończone:

Przykład 2
Znaleźć wielomian interpolacyjny Newtona dla zadania z przykładu 1.

Zadania
1. Mając dane współrzędne punktów interpoluj wartość funkcji w punkcie x=-1 z wykorzystaniem metody Lagrange'a i Newtona.

Odp. W2(-1) = 9 (dla obu metod)
2. Za pomocą interpolacji Lagrange'a oblicz pierwiastek z liczby 7. Ustal conajmniej 3 punkty dla których łatwo obliczyć pierwiastek. Im więcej będzie punktów tym szacowanie będzie dokładniejsze.
Odp. Dla punktów (1,4,9), W2(7) = 2,7
3. Do tej pory korzystaliśmy z metody Newtona dla równoodległych węzłów. Znajdź wzory na interpolację dla dowolnych odległości wraz z tablicą ilorazów różnicowych. Następnie znajdź wielomian interpolacyjny dla następujących punktów:

Odp. W4(x) = -2x4 + x3 + 19x2 + 21x + 5