Zajęcia 8

Aproksymacja trygonometryczna i DFT

  1. Aproksymacja trygonometryczna:

Funkcję okresową lub określoną w przedziale [a,b] można aproksymować za pomocą funkcji trygonometrycznych.
Załóżmy,że wartości funkcji f(x) są dane w punktach xi, i=1...N, równo od siebie odległych tj. xi+1 - xi = h
gdzie:

Aby obliczyć stopień wielomianu m korzystamy z następującej reguły:

Przykład
Na podstawie następujących danych znajdź funkcję aproksymującą:


Obliczamy wartość współczynników:

Szukana funkcja przyjmuje postać:

  1. Dyskretna transformacja Fouriera

Krok 1: Sprawdzamy czy ilość wyrazów ciągu(N) jest równa N=2m. Jeśli nie jest uzupełniamy ciąg zerami tak aby miał zadaną długość.

Krok 2: Dzielimy ciąg ft na dwa podciągi nt i pt. Gdzie pierwszy składa się z wyrazów nieparzystych a drugi z wyrazów parzystych. Tak powstałe ciągi znowu dzielimy na mniejsze podciągi - wg tej samej reguły, do momentu powstania ciągów dwuelementowych.

Krok 3: Do powstałych ciągów dwuelementowych stosujemy transformatę Fouriera opisaną wzorem:

Korzystamy również ze wzoru:

Ciągi nie przetransformowane zapisywane są małymi literami, ciągi po dyskretnej transformacie Fouriera dużymi literami.
Krok 4: Następnie należy połączyć ciągi dwuelementowe w ciągi czteroelementowe, a te z kolei w ośmioelementowe itd, aż do momentu gdy otrzymamy ciąg składający się z takiej samej ilości wyrazów jak ciąg początkowy. Łączenie ciągów opisane jest zależnością:

Przykład
Dokonaj dyskretnej transformaty Fouriera ciągu ft={1,2,0,-1,3,8,3,-2}

Krok 1: Ciąg składa się z 8 wyrazów a więc spełnia warunek. Nie dodajemy zer.
Krok 2: Dzielimy ciąg na mniejsze aż do uzyskania ciągów dwuelementowych:

Krok 3: Stosujemy transformatę Fouriera dla powstałych ciągów dwuelementowych:
W kroku 2, wyliczyliśmy 4 ciągi dwuelementowe:
Podstawiamy elementy pod wzory:

Krok 4: Łączenie ciągów:
Wzory do łączenia ciągów wyglądają następująco:

Stosując wzór pierwszy dla k=0, otrzymujemy:

Stosując wzór pierwszy dla k=1, otrzymujemy:

Stosując wzór drugi dla k=0, otrzymujemy:

Stosując wzór drugi dla k=1, otrzymujemy:

Takie same operacje robimy dla drugiego ciągu. Wynikowe ciągi czteroelementowe:

Teraz łączymy ciągi czteroelementowe w jeden ciąg ośmioelementowy:

Podstawiamy do wzoru:

Oblicz pozostałe elementy - F4, F5, F6, F7

Zadania
1. Dla następujących danych dokonaj aproksymacji trygonometrycznej:

2. Dokonaj dyskretnej transformay Fouriera dla ciągu ft={1,2,-3,5,-2,4,0,4}