Zajęcia 9

Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

  1. Wzór pięciopunktowy na I pochodną:

Korzystamy z rozwinięcia funkcji f(x) w szereg Taylora:

gdzie R to reszta Lagrange'a:

Przy założeniu, że reszta jest równa zero, rozwijamy szereg wokół punktu xk+1 do trzeciej pochodnej włącznie:

Oznaczając:

otrzymujemy:

Rozwijamy wokół punktu xk-1 do trzeciej pochodnej włącznie:

Rozwijamy wokół punktu xk+2 do trzeciej pochodnej włącznie:

Rozwijamy wokół punktu xk-2 do trzeciej pochodnej włącznie:

Dla obliczenia pierwszej pochodnej:

Usuwamy trzecią pochodną:

2. Całkowanie - metoda trapezów

Wyprowadzamy wzór na całkę metodą trapezów. Korzystamy ze wzoru interpolacyjnego Newtona:
Podstawiamy do wzoru (bierzemy tylko dwa składniki, gdyż przybliżamy linią prostą):

Wiedząc że:

Podstawiamy do wzoru:

Obliczamy pierwszą całkę:

Obliczamy drugą całkę:

Sumujemy:

Zadania:
1. Wykorzystując wzory pięciopunktowe obliczyć pierwszą pochodną funkcji f(x) = x2 w punkcie x=1, krok h=0.1.
2. Wyprowadź wzór pięciopunktowy na drugą pochodną. Postępujemy podobnie jak w przypadku pierwszej pochodnej - z tym, że rozwijamy do czwartej pochodnej włącznie oraz zamiast odejmować poszczególnych rozwinięć dodajemy je do siebie. Następnie policz drugą pochodną dla pierwszego zadania.
3. Oblicz całkę:

a) dla h=1
b) dla h=2
c) analityczne